Exercice 2

On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur l’intervalle \([−2~ ;6]\).  
Sa courbe représentative, notée \(\mathcal C\), est donnée ci-dessous.

On sait que la courbe \(\mathcal C\) passe par les points de coordonnées \((0 ~;8)\), \((2~ ;0)\) et \((4~;−8)\). 
On note \(\mathcal T\) la tangente à la courbe \(\mathcal C\) au point d’abscisse \(x = 2\).
On sait que la tangente \(\mathcal T\) coupe l’axe des ordonnées en \(y = 12\).
On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\).

1. a. Déterminer les valeurs de \(f(2)\) et \(f'(2)\).
    b. Donner une équation de la tangente \(\mathcal T\).
    c. Recopier et compléter le tableau de variations ci-dessous en utilisant le graphique.

2. On admet que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \([−2 ~;6]\) par \(f(x)=0{,}5x^3-3x^2+8\). 
    a. Montrer que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([−2~ ;6]\), on a \(f'(x)=1,5x(x-4)\). 
    b. Étudier le signe de \(f'(x)\) et retrouver le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([−2 ~;6]\).

3. On admet que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0~;2]\), on a \(f(x)\leqslant -6x+12\). Que peut-on en déduire pour la courbe \(\mathcal C\) et la tangente \(\mathcal T\) sur l’intervalle \([0~ ;2]\) ?